Question

如圖，以矩形ABCD的邊AB為直徑作圓，過C作直線CP切圓于點P，過點P作PQ⊥AB于Q，PQ分別交CD、AC于E、F，記AQ=m，QB=n（m＞n）．
（1）用含m、n的代數(shù)式表示PC的長；
（2）求證：直線AC平分線段PQ．

Answer 1

分析：（1）連接PA、PB，由圓周角定理可以得知∠APB=90°利用三角形相似表示出PQ，在直角三角形PEC中利用勾股定理就可以表示出PC．
（2）由PQ⊥AB及四邊形ABCD是矩形可知PQ∥BC，而得到三角形相似證明FQ=

1

2

PQ，從而使問題得到解決．

解答：（1）解：連接PA、PB
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°
設CP=x，則CB=CP=x
∵PQ⊥AB
∴△APQ∽△PBQ
∴PQ²=AQ•QB
∴PQ=

mn

∴PE=

mn

-x，又CE=n
在Rt△PCE中有PC²=PE²+EC²
∴x2=(

mn

-x)2+n2
∴x=

(m+n) mn

2m

；

（2）證明：∵PQ∥CB
∴

FQ

CB

=

AQ

AB

=

m

m+n

∴FQ=

m

m+n

•CB=

m

m+n

•

(m+n) mn

2m

=

mn

2

∴FQ=

1

2

PQ
∴直線AC平分線段PQ．

點評：本題考查了切線的性質，勾股定理，矩形的性質，平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定及性質的運用．