Question

把兩個含有45°角的直角三角板如圖1放置，點D在BC上，連接BE、AD，AD的延長線交于BE于點F．
（1）問：AD與BE在數量上和位置上分別有何關系？說明理由．
（2）若將45°角換成30°如圖2，AD與BE在數量和位置上分別有何關系？說明理由．
（3）若將圖2中兩個三角板旋轉成圖3、圖4、圖5的位置，則（2）中結論是否仍然成立，選擇其中一種圖形進行說明．

Answer 1

分析：（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根據全等三角形的性質可知：對應邊相等AD=BE、對應角相等∠BEC=∠ADC；加上已知條件來求∠AFE=90°即可；
（2）根據三角形的邊角關系求得BE=

3

AD、CE=

3

CD、CB=

3

CA，所以根據SAS來證明△ECB∽△DCA，利用相似三角形的性質來解答即可；
（3）仍然證△ECB∽△DCA，然后再利用相似三角形的性質來證明．

解答：解：（1）AD=BE；AD⊥BE．
由題可得：CE=CD；CB=CA；∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，（2分）
又∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．（4分）

（2）BE=

3

AD；AD⊥BE；
證明如下：
由題可得：CE=

3

CD；CB=

3

CA，
∴

CE

CD

=

CB

CA

，又∠ECD=∠BCA=90°，
∴△ECB∽△DCA，
∴BE=

3

AD，∠BEC=∠ADC；（6分）
又∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠AFE=90°即：AD⊥BE；（8分）

（3）結論成立，仍然證△ECB∽△DCA，得到BE=

3

AD，∠EBC=∠CAD，
圖3：由∠CPA+∠CAP=90°，得∠BPF+∠CAP=90°，
又∠EBC=∠CAD
∴∠BPE+∠EBC=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE；（12分）
圖4：由題可知：∠CAD+∠BAF=120°又∠EBC=∠CAD∴∠BAF+∠EBC=120°而∠CBA=30°，
∴∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE
圖5：由∠CPB+∠EBC=90°，得∠APE+∠EBC=90°，
又∠EBC=∠CAD，
∴∠CAD+∠APE=90°，
∴∠AFB=90°即：AD⊥BE．

點評：本題主要考查的是全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及直角三角形的邊角關系．