【題目】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按圖放置,使點(diǎn)E在BC上,取DF的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、CG.
(1)請(qǐng)?zhí)砑右粭l輔助線,構(gòu)造一個(gè)和△FEG全等的三角形,并證明它們?nèi)龋?/span>
(2)探索EG、CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明.

【答案】解:(1)延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H,如圖,則△DHG≌△FEG.證明如下:
∵∠BEF=90°,
∴EF⊥BC,
而CD⊥BC,
∴EF∥CD,
∴∠1=∠2,
∵點(diǎn)G為DF的中點(diǎn),
∴DG=FG,
在△DHG和△FEG中,
,
∴△DHG≌△FEG(ASA);
(2)EG=CG,EG⊥CG.證明如下:
∵△DHG≌△FEG,
∴EF=DH,EG=HG,
∵BE=EF,
∴BE=DH,
∵CB=CD,
∴CD﹣DH=CB﹣BE,即CH=CE,
∴△CHE為等腰直角三角形,
∵EG=GH,
∴CG⊥EH,CG=EG=GH,
即EG=CG,EG⊥CG.

【解析】(1)延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H,如圖,先證明EF∥CD,則∠1=∠2,再由點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)得到DG=FG,然后利用“ASA”判斷△DHG≌△FEG;
(2)由△DHG≌△FEG得到EF=DH,EG=HG,而B(niǎo)E=EF,所以BE=DH,根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD,則CH=CE,于是可判斷△CHE為等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG⊥EH,CG=EG=GH,即EG=CG,EG⊥CG.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

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(2)求證:BE∥DF.

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