Question

如圖，等腰三角形ABC中，AB=BC，⊙O為△ABC的外接圓，CD為∠ACB的平分線，CD的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)O作CD的垂線交BC于E，再過(guò)E作CD的平行線交AB于F，NE的延長(zhǎng)線交⊙O于M．
求證：（Ⅰ）MN∥AC；
（Ⅱ）BE=FD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂徑定理，可得CI=NI，通過(guò)求證△ECI≌△ENC，推出∠ECI=∠ENI，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，通過(guò)等量代換，即可推出∠ENI=∠NCA，即可推出結(jié)論，（2）連接BN，MC，過(guò)E作MC垂線EG，G為垂足．過(guò)F作CN垂線，H為垂足，
，根據(jù)（1）所得的結(jié)論，推出△AEQ為等腰三角形，再由等腰三角形BAC，MN∥AC，推出，BE=BQ，可得CE平分∠MCN，然后，通過(guò)求證四邊形EFHI為矩形，結(jié)合角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，即可得GE=EI=FH，再通過(guò)求證△MEG≌△DFH和△BNE≌△MCE，即可推出BE=ME，ME=FD，通過(guò)等量代換即得，F(xiàn)D=BE．
解答：證明：（1）如圖，設(shè)直線OE與CM交于點(diǎn)I，
∵OI⊥NC，
∴CI=NI，
∵在△ECI和△ENI中，
，
∴△ECI≌△ENC（SAS），
∴∠ECI=∠ENI，
∵CN平分∠BCA，
∴∠ECI=∠NCA，
∴∠ENI=∠NCA，
∴MN∥AC，

（2）如圖，連接BN，MC，過(guò)E作MC垂線EG，G為垂足．過(guò)F作CN垂線，H為垂足，
∵EF∥CN，EI⊥NC，
∴IE⊥EF，
∴四邊形EFHI為矩形，
∴EI=FH，
∵AB=BC，
∴，
∵M(jìn)N∥AC，
∴，
∴，BE=BQ，
∴∠BCN=∠MCB，
∴CE平分∠MCN，
∴EG=EI，
∴EG=FH，
∵BCN=ENC，
∴∠MCE=∠ECN=∠ENC，
∵∠GEC=90°-∠MCE，∠NPH=90°-∠MNC，
∴∠GEC=∠NPH，即∠GEC=∠FPQ，
∵BE=BQ，
∴∠BEQ=∠BQE，即，∠MEC=∠BQE，
∵∠MEG=∠MEC-∠GEC，∠DFH=∠BQE-∠FPQ，
∴∠MEG=∠DFH，
∵在△MEG和△DFH中，
，
∴△MEG≌△DFH（AAS），
∴ME=FD，
∵在△BNE和△MCE中，
，
∴△BNE≌△MCE（ASA），
∴BE=ME，
∴BE=FD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理以及分類討論思想的運(yùn)用．