Question

【題目】如圖，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F，BE，CF相交于點G.

(1)求證：BE⊥CF；

(2)若AB=a，CF=b，求BE的長.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質和角平分線的性質，證明∠EBC+∠FCB=90°即可解決問題；

（2）如圖，作EH∥AB交BC于點H，連接AH交BE于點P．構造特殊四邊形菱形，利用菱形的性質，結合勾股定理即可解決問題；

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線，
∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB=90°，
∴∠BGC=90°．
即BE⊥CF．

（2）如圖，作EH∥AB交BC于點H，連接AH交BE于點P．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∴四邊形ABHE是菱形，

∴AH，BE互相垂直平分；
∵BE⊥CF，

∴AH∥CF，

∴四邊形AHCF是平行四邊形，

∴AP=；

在Rt△ABP中，由勾股定理，得：

，

∴．