Question

如圖，已知一條直線過點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是．

（1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3） 過線段AB上一點(diǎn)P，作PM //x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，的長度最大？最大值是多少？

 

 

Answer 1

（1）因?yàn)辄c(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)是，

所以，A點(diǎn)坐標(biāo)（，1）

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為將（0,4），（，1）代入得

解得     所以直線

由，得，解之得，

當(dāng)時(shí)，．

所以點(diǎn)．

（2）作AM∥軸,BM∥軸, AM, BM交于點(diǎn)M．

由勾股定理得:=325．

設(shè)點(diǎn)，則，

．

①     若，則，

②     即，

  所以．

②若，則，即，

  化簡得，解之得或．

③若，則，即，

所以．

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（3）設(shè)，則．

 由，所以，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．

所以．

所以．

所以當(dāng)，又因?yàn)?sub>，

所以取到最大值18．

所以當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，的長度最大值是18．