Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．P，Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm，到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=________秒時(shí)，PQ∥AC；

（2）設(shè)△PQB的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出能使△BCQ為等腰三角形的t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=-t2+8t（0<t≤3）或S=（3<t<8）；（3）當(dāng)t為5.5，6或6.6時(shí)，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)平行的性質(zhì)，在三角形中，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到答案；

（2）根據(jù)題意，由t的范圍分別計(jì)算函數(shù)解析式即可；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，討論t的值即可．

解：（1）如圖，當(dāng)PQ∥AC時(shí)，△BQP∽△BCA，

∴，即，

解得：t=，

故答案為：；

（2）解：當(dāng)0<t≤3時(shí)，如圖所示：

BQ=2t，BP=8-t，

則S=BP·BQ

=×(8-t) ×2t

=-t2+8t，

當(dāng)3<t<8時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AH于點(diǎn)H，

HQ=(16-2t)，

∴S=BP·HQ

=

=；

（3）當(dāng)t為5.5，6或6.6時(shí)，△BCQ為等腰三角形，

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖所示：

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖所示：

則BC+CQ=12，

∴t=12÷2=6

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖所示、過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則BE= =4.8，

∴CE= =3.6，

∴CQ=2CE=7.2，

∴BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6，

綜上，當(dāng)t為5.5，6或6.6時(shí)，△BCQ為等腰三角形．