Question

設(shè)p、q為質(zhì)數(shù)，則關(guān)于x的方程x²+px+q⁴=0的整數(shù)解是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意得兩根只能是-1與-q⁴，-q與-q³或-q²與-q²．再由兩根之和的絕對(duì)值為p是質(zhì)數(shù)得q=2，從而得出方程的兩根．
解答：解：x²+px+q⁴=0有整數(shù)解，則由方程根與系數(shù)的關(guān)系可知兩根均為整數(shù)且兩根之和為-p，兩根之乘積為q⁴，
故兩根只能是-1與-q⁴，-q與-q³或-q²與-q²．
另一方面由兩根之和的絕對(duì)值為p是質(zhì)數(shù)．
由于q+q³=q（q²+1），q²+q²=2q²均不是質(zhì)數(shù)，故兩根只能是1與q⁴，要使q⁴+1也為質(zhì)數(shù)，q只能是偶數(shù)，又q是質(zhì)數(shù)，
故q=2，此時(shí)q⁴+1=17也是質(zhì)數(shù)．
故該方程只有當(dāng)p=17，q=2時(shí)，方程x²+17x+2⁴=0有整數(shù)解-1和-16．
故答案為：-1，-16．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的整數(shù)根和有理根，以及質(zhì)數(shù)和合數(shù)，難度較大．