某校研究性學習小組在研究有關二次函數(shù)及其圖象性質的問題時,發(fā)現(xiàn)了兩個重要的結論:一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0),當實數(shù)a變化時,它的頂點都在某條直線上;二是發(fā)現(xiàn)當實數(shù)a變化時,若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標減少,縱坐標增加
,得到A點的坐標;若把頂點的橫坐標增加
,縱坐標增加
,得到B點的坐標,則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上.
(1)請你協(xié)助探求出當實數(shù)a變化時,拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式;
(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點,你能找出它來嗎?并說明理由;
(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下,運用“一般——特殊——一般”的思想,你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學語言將你的猜想表達出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立,請說明理由.
(1)當a=1時, 將(-1,2)、(1,4)代入,得 解得 即拋物線 (或由拋物線 (2)直線 ∵拋物線 ∴當 ∴(0,3)點不是該拋物線的頂點. (3)得出猜想:對于拋物線 理由:∵拋物線 ∴將其橫坐標減少 同樣可得 把 ∴點A在拋物線 同理可證點B在拋物線 ∴所提出猜想能夠成立.(此問題可利用 |
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