如圖(1),將一個正六邊形各邊延長,構成一個正六角星形AFBDCE,它的面積為1,取△ABC和△DEF各邊中點,連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如圖(2)中陰影部分,取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點,連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2,如圖(3)中陰影部分,如此下去…,則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為
 

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分析:先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比,再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方,找出規(guī)律即可解答.
解答:解:∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點,
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1,且相似比為2:1,
∵正六角星形AFBDCE的面積為1,
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為
1
4

同理可得,第三個六角形的面積為:
1
43
=
1
64
,
第四個六角形的面積為:
1
16
×
1
4
×
1
4
=
1
256
,
故答案為:
1
256
點評:本題考查的是相似多邊形的性質及三角形中位線定理,解答此題的關鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方.
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