Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=12，AD=18，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G．
（1）寫出圖中所有的等腰三角形，并證明其中一個(gè)；
（2）當(dāng)BG=8

2

時(shí)，求△CEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAF=∠FAD，再根據(jù)AB∥DC，AD∥BC，可得到∠BAF=∠F，∠DAF=∠AEB=∠CEF，從而可得到△ADF，△ABE，△CEF是等腰三角形．
（2）首先證明△ABE∽△FCE，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，即可得到△ABE的周長(zhǎng)，再根據(jù)相似比等于周長(zhǎng)比即可得到答案．

解答：解：（1）△ADF，△ABE，△CEF，
證明：∵AF是∠BAD的平分線，
∴∠BAF=∠FAD，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∴∠F=∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形．

（2）∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∵AB=12，BG=8

2

，
∴AG=

122-(8 2 )2

=4，
∵△ABE是等腰三角形，AB=BE，
∴AG=GE=4，
∴EC=18-12=6，
∴

BE

EC

=

2

1

，
∴△ABE的周長(zhǎng)：△CEF的周長(zhǎng)=2：1，
∵△ABE的周長(zhǎng)=12+12+8=32，
∴△CEF的周長(zhǎng)=16．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，證出△ADF是等腰三角形，求出△ABE的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．