Question

已知一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（0，3），B（4，6）兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x=．
（1）求這條拋物線(xiàn)的關(guān)系式；
（2）證明：這條拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中，必存在點(diǎn)C，使得對(duì)x軸上任意點(diǎn)D都有AC+BC≤AD+BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出函數(shù)的解析式：y=ax²+bx+c，根據(jù)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（0，3），B（4，6）兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；
（2）令y=0，得到方程，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系求出拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，來(lái)證明．
解答：（1）解：設(shè)所求拋物線(xiàn)的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（4，6），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=，
∴，
解得
∴y=．

（2）證明：令y=0，得=0，
∴，
∵A（0，3），取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，
∴E（0，-3），
設(shè)直線(xiàn)BE的關(guān)系式為y=kx-3，把B（4，6）代入上式，得6=4k-3，
∴k=，
∴y=x-3，
由x-3=0，
得x=．
故C為，C點(diǎn)與拋物線(xiàn)在x軸上的一個(gè)交點(diǎn)重合，
在x軸上任取一點(diǎn)D，在△BED中，BE＜BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，
∴AC+BC＜AD+BD，
若D與C重合，則AC+BC=AD+BD，
∴AC+BC≤AD+BD．
點(diǎn)評(píng)：（1）第一問(wèn)主要考查用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，還運(yùn)用了對(duì)稱(chēng)軸公式；
（2）此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根，另外用到了三角形兩邊之和大于第三邊這一定理．