Question

如圖，經(jīng)過點(diǎn)A(0，－4)的拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸相交于點(diǎn)B(－0，0)和C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)將拋物線y＝x²＋bx＋c向上平移個單位長度、再向左平移m(m＞0)個單位長度，得到新拋物線．若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的長．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】分類討論．

【分析】（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，只需將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．

（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時m的取值范圍．

（3）先在OA上取點(diǎn)N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負(fù)半軸上都有一個符合條件的M點(diǎn)；以y軸正半軸上的點(diǎn)M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過相關(guān)比例線段求出AM的長．

【解答】解：（1）將A（0，-4）、B（-2，0）代入拋物線y=x²+bx+c中，得：

 0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0   ，

解得： b=-1 c=-4  

∴拋物線的解析式：y=x²-x-4．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：

y=（x+m）²-（x+m）-4+7 2 ，

即：y= x²+（m-1）x+1 2 m2-m-1 2 ；

它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P：（1-m，-1）；

由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）；

那么直線AB：y=-2x-4；直線AC：y=x-4；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時，-2（1-m）-4=-1，解得：m=5 2 ；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；

∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時，-2＜m＜5 2 ；

又∵m＞0，

∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜5 2 ．

（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如圖，在△ABN、△AM₁B中，

∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，

∴△ABN∽△AM₁B，得：AB₂=AN•AM₁；

易得：AB₂=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；

∴AM₁=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；

而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，

∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂-OA=6-4=2．

綜上，AM的長為6或2．

【點(diǎn)評】考查了二次函數(shù)綜合題，該函數(shù)綜合題的難度較大，（3）題注意分類討論，通過構(gòu)建相似三角形是打開思路的關(guān)鍵所在．