Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，半圓的圓心O在BC上，半圓與AB、AC分別相切于點D、E，則半圓的半徑為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OE，OD，求出四邊形ADOE是正方形，推出AE=AD=OD=OE，設(shè)OE=AD=AD=OD=R，根據(jù)切線性質(zhì)得出OE∥AB，OD∥AC，推出△CEO∽△ODB，得出比例式，代入求出即可．
解答：解：連接OE，OD，
∵圓O切AC于E，圓O切AB于D，
∴∠OEA=∠ODA=90°，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠ODA=∠OEA=90°，
∵OE=OD，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴AD=AE=OD=OE，
設(shè)OE=AD=AD=OD=R，
∵∠A=90°，∠OEC=90°，
∴OE∥AB，
∴△CEO∽△CAB，
同理△BDO∽△BAC，
∴△CEO∽△ODB，
∴=，
即=，
解得：R=，
故選A．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，題目具有一定的代表性，難度也適中．