Question

3．如圖，已知線段a，b．
（1）按下列要求作圖：
①用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b；
②用直尺和圓規(guī)作AB邊的中垂線，分別交AC，AB于D，E兩點，連結(jié)BD．
（2）若∠A=38°，求∠CBD的度數(shù)；
（3）若a=3，b=4，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）①先任作射線，在射線上截取AC=b，接著過點C作AC的垂線，然后在垂線上截取CB=a，從而得到Rt△ABC；
②利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作出DE；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到DA=DB，則∠DBA=∠A=38°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算出∠CDB，然后利用互余計算∠CBD的度數(shù)；
（3）先利用勾股定理得到AB=5，則AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，再證明Rt△ADE∽Rt△ABC，然后利用相似比求DE的長．

解答 解：（1）①如圖，△ABC為所作；
②如圖，BD為所作；

（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=38°，
∴∠CDB=∠DBA+∠A=76°，
∴∠CBD=90°-76°=14°；
（3）在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵∠EAD=∠CAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，
∴DE：BC=AE：AC，即DE：3=$\frac{5}{2}$：4，
∴DE=$\frac{15}{8}$．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．利用勾股定理和相似比可解決幾何計算問題．