Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）和一次函數(shù)y=-x+8．
（1）若一次函數(shù)和反函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（4，m），求m和k；
（2）k滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（3）設(shè)（2）中的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，試判斷∠AOB是銳角還是鈍角？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)過(guò)（4，m）求m，再把求出的交點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中求k；
（2）求交點(diǎn)問(wèn)題，就是解聯(lián)立而成的方程組得關(guān)于k的一元二次方程，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解答；
（3）根據(jù)交點(diǎn)A、B的位置判斷．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（4，m），∴有

m=-4k+8 m= k 4

，
解之得

m=4 k=16

，
∴m=4，k=16；

（2）若兩個(gè)函數(shù)相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

y= k x (k≠0) y=-x+8

，
∴-x+8=

k

x

，
即x²-8x+k=0，
要使兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程應(yīng)有兩個(gè)不相同的根，
也就是△＞0，
即（-8）²-4×1×k=64-4k＞0，
∴k＜16，
∴要使兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，k應(yīng)滿足k＜16且k≠0；

（3）當(dāng)0＜k＜16時(shí)，y=

k

x

的圖象在第一、三象限，它與y=-x+8的兩個(gè)交點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，這時(shí)∠AOB是銳角；

當(dāng)k＜0時(shí)，y=

k

x

的圖象在第二、四象限，它與y=-x+8的兩個(gè)交點(diǎn)分別在第二、四象限，此時(shí)∠AOB是鈍角．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了方程組的解和圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．此題將函數(shù)與方程聯(lián)系起來(lái)分類討論，檢查學(xué)生的綜合知識(shí)水平．