Question

在一次探究性活動(dòng)中，教師提出了問(wèn)題：已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是2和1，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍？設(shè)所求矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y
（1）小明從“圖形”的角度來(lái)研究：所求矩形的周長(zhǎng)應(yīng)滿足關(guān)系式①

y=-x+6

，面積應(yīng)滿足關(guān)系式②

y=

4

x

，在同一坐標(biāo)系中畫出①②的圖象，觀察所畫的圖象，你能得出什么結(jié)論？
（2）小麗從“代數(shù)”的角度來(lái)研究：由題意可列方程組

y=-x+6 y= 4 x

，解這個(gè)方程組，你能得出什么結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）表示出有關(guān)周長(zhǎng)和面積的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的圖形判斷是否存在這樣的矩形即可；
（2）將兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立后得到方程組，利用方程的方法判斷是否存在這樣的矩形即可．

解答：解：（1）設(shè)所求矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y，
∵已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是2和1，新矩形的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的2倍，
∴2（x+y）=2×2×（2+1）xy=2×2×1
∴y=-x+6，y=

4

x

圖象為：

根據(jù)圖象知：存在兩個(gè)矩形，能使得新矩形是原矩形的周長(zhǎng)與面積的2倍．

（2）將（1）題中得到的兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立得：

y=-x+6 y= 4 x

整理得：x²-6x+4=0
∵△=（-6）²-4×4＞0，
∴存在兩個(gè)矩形，能使得新矩形是原矩形的周長(zhǎng)與面積的2倍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象交點(diǎn)的意義，以及圖象的特點(diǎn)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．