Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點M為拋物線的頂點，過點（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點P、Q（點P在Q的左側(cè)），PQ=4．
（1）求拋物線的函數(shù)關系式，并寫出點P的坐標；
（2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線繞著點P旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的頂點恰為坐標原點O，你認為正確嗎？請說明理由；
（3）如圖2，已知點A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點P、A、B、C按順時針的方向排列），．
①寫出C點的坐標：C（       ，       ）（坐標用含有t的代數(shù)式表示）；
②若點C在題（2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t的值．

Answer 1

（1）；（2，4）；（2）正確，理由見解析；（3）①-4t+2，4+t；②.

解析試題分析：（1）把P的縱坐標代入拋物線的解析式得到關于x的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式.
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Q繞著點P旋轉(zhuǎn)180°后的對稱點為Q′（-2，4），得出新拋物線的對稱軸是y軸，然后求得拋物線的頂點到直線PQ的距離為4，即可判斷新拋物線頂點應為坐標原點．
（3）①根據(jù)三角形相似即可求得C的坐標：
如答圖，過P作x軸的垂線，交x軸于M，過C作CN⊥MN于N，
∵，∴.
∵易得△APM∽△PCN，∴.
∵AM=2-1=1，PM=4，∴PN=t，CN=4t.
∴MN=4+t.
∴C（-4t+2，4+t），

②由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是，新拋物線是過P（2，4），求得新拋物線的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．
試題解析：解：（1）∵拋物線過點P，P點的縱坐標為4，
∴即.
∴.
∵PQ=4，∴，即，即.
∴，解得：n=4.
∴拋物線的函數(shù)關系式為：.
由解得x=2或x=6.
∴P（2，4）．
（2）正確，理由如下：
∵P（2，4），PQ=4，∴Q繞著點P旋轉(zhuǎn)180°后的對稱點為Q′（-2，4）.
∴P與Q′正好關于y軸對稱.
∴所得新拋物線的對稱軸是y軸，
∵拋物線，∴拋物線的頂點M（4，8）.
∴頂點M到直線PQ的距離為4.
∴所得新拋物線頂點到直線PQ的距離為4.
∴所得新拋物線頂點應為坐標原點．
（3）①-4t+2，4+t.
②由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是，
∵新拋物線過P（2，4），∴4=4a，解得a=1.
∴旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是.
∵C（-4t+2，4+t）在拋物線上，
∴，解得：t=0（舍去）或t=.
∴t=.
考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.線動旋轉(zhuǎn)問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.一元二次方程根與系數(shù)的關系；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6. 旋轉(zhuǎn)和軸對稱的性質(zhì)；7.方程思想的應用.