正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),保持AM和MN垂直.
(1)證明:Rt△ABM∽R(shí)t△MCN;
(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABCN的面積最大,并求出最大面積;
(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN,求此時(shí)x的值.

【答案】分析:(1)要證三角形ABM和MCN相似,就需找出兩組對(duì)應(yīng)相等的角,已知了這兩個(gè)三角形中一組對(duì)應(yīng)角為直角,而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角,因此這兩個(gè)角也相等,據(jù)此可得出兩三角形相似.
(2)根據(jù)(1)的相似三角形,可得出AB,BM,MC,NC的比例關(guān)系式,已知了AB=4,BM=x,可用BC和BM的長表示出CM,然后根據(jù)比例關(guān)系式求出CN的表達(dá)式.這樣直角梯形的上下底和高都已得出,可根據(jù)梯形的面積公式得出關(guān)于y,x的函數(shù)關(guān)系式.然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出y的最大值即四邊形ABCN的面積的最大值,以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值,也就可得出BM的長.
(3)已知了這兩個(gè)三角形中相等的對(duì)應(yīng)角是∠ABM和∠AMN,如果要想使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN,那么兩組直角邊就應(yīng)該對(duì)應(yīng)成比例,即,根據(jù)(1)的相似三角形可得出,因此BM=MC,M是BC的中點(diǎn).即x=2.
解答:(1)證明:在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90°,
∵AM⊥MN,
∴∠AMN=90°,
∴∠CMN+∠AMB=90°.
在Rt△ABM中,∠MAB+∠AMB=90°,
∴∠CMN=∠MAB,
∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN.

(2)解:∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN,
,即,

∴y=S梯形ABCN=+4)•4
=-x2+2x+8
=-(x-2)2+10,
當(dāng)x=2時(shí),y取最大值,最大值為10.

(3)解:∵∠B=∠AMN=90°,
∴要使△ABM∽△AMN,必須有,
由(1)知,
=
∴BM=MC,
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),△ABM∽△AMN,此時(shí)x=2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,根據(jù)相似三角形得出與所求的條件相關(guān)的線段成比例是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),保持AM和MN垂直.
(1)證明:Rt△ABM∽R(shí)t△MCN;
(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABCN的面積最大,并求出最大面積;
(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN,求此時(shí)x的值.

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精英家教網(wǎng)如圖,正方形ABCD邊長為2cm,以點(diǎn)B為圓心,AB的長為半徑作弧
AC
,則圖中陰影部分的面積為( 。
A、(4-π)cm2
B、(8-π)cm2
C、(2π-4)cm2
D、(π-2)cm2

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精英家教網(wǎng)如圖所示,正方形ABCD邊長為2,點(diǎn)E在CB的延長線上,BD=BE,則tan∠BAE的值為
 

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已知:正方形ABCD邊長為4cm,E,F(xiàn)分別為CD,BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從B?A以2cm/精英家教網(wǎng)s的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段FC上從F?C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)G在PC上,且∠EGC=∠EQC,連接PD.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求證:△CQE∽△APD;
(2)問:在運(yùn)動(dòng)過程中CG•CP的值是否發(fā)生改變?如果不變,請(qǐng)求這個(gè)值;若改變,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△CGE為等腰三角形并求出此時(shí)△CGE的面積.

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(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)梯形ABCN的面積是否可能等于11?為什么?

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