Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE＝CF；

（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD＝2﹣2．

【解析】

（1）根據旋轉的性質得到AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根據“邊角邊”證明△ABE≌△ACF，之后根據全等三角形性質得出結論即可。

（2）根據菱形的性質得出DF＝AF＝2，DF∥AB，再根據平行線 性質證明∠1＝∠BAC＝45°，此時則可判定斷△ACF為等腰直角三角形，之后進一步求解即可。

（1）證明：如圖

，

∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，

∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，

∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，

即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中：

∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴BE＝CF；

（2）解：如圖

，

∵四邊形ABDF為菱形，

∴DF＝AF＝2，DF∥AB，

∴∠1＝∠BAC＝45°，

∴△ACF為等腰直角三角形，

∴CF＝AF＝2，

∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．