Question

【題目】如圖，在中，，是上一點，以為圓心為半徑的圓與交于點，與交于點，連接、、，且．

求證：是的切線；

若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）先由OD=OE，利用等邊對等角可得∠2=∠3，再利用DE∥OC；進而利用平行線的性質，可得∠3=∠4，∠1=∠2，等量代換可得∠1=∠4；再結合OB=OD，OC=OC，利用SAS可證△DOC≌△BOC，那么∠CDO=∠CBO，而∠ABC=90°，于是∠CDO=90°，即CD是 O的切線；
（2）由（1）可知∠2=∠4，而∠CDO=∠BDE=90°，易證△CDO∽△BDE，可得比例線段，OD：DE=OC：BE，又BE=2OD，可求OD．

證明：連接，

∵，

∴，

又∵，

∴，，

∴；

在和中，，，，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴是的切線；

∵是直徑，

∴，

在和中，，，

∴，

∴；

又∵，

∴，

∴．