Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別為邊AB、DC的中點，CG∥DE，交EF的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DECG是平行四邊形；
（2）當ED平分∠ADC時，求證：四邊形DECG是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△DEF≌△CGF可得DE=CG，再加上條件CG∥DE，可以根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形DECG是平行四邊形．
（2）首先證明∠DEF=∠EDF，∠FEC=∠ECF，再證明∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，從而得到2∠DEC=180°進而得到∠DEC=90°，再有條件四邊形DECG是平行四邊形，
可得四邊形DECG是矩形．
解答：證明：（1）∵F是邊CD的中點，
∴DF=CF．
∵CG∥DE，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠DFE=∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE=CG，
又∵CG∥DE，
∴四邊形DECG是平行四邊形．

（2）∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠FDE．
∵E、F分別為邊AB、DC的中點，
∴EF∥AD．
∴∠ADE=∠DEF．
∴∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF=CF．
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE=∠DEC．
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，
∴2∠DEC=180°．
∴∠DEC=90°，
又∵四邊形DECG是平行四邊形，
∴四邊形DECG是矩形．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定，矩形的判定，關鍵是熟練掌握平行四邊形和矩形的判定定理．