Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO.

（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)OP.

①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得的值最大.若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）① ，；②

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形及平移的性質(zhì)即可得到結(jié)果；

（2）①由，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)可設(shè)，再根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)可求得拋物線的解析式，則可設(shè)點(diǎn)再分∽與∽兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

②先求得拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)拋物線的對稱性可得，則要使得的值最大，即是使得的值最大，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最大，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求得結(jié)果.

（1）；

（2）① ∵，

∴

∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)

∴設(shè)拋物線的解析式為

又拋物線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)

∴，解得：

∴拋物線的解析式為

∵點(diǎn)在拋物線上

∴設(shè)點(diǎn)

1)若∽，則，

解得(舍去)，，

∴點(diǎn).

2)若∽，則，，

解得(舍去)，，

∴點(diǎn)

②存在點(diǎn)，使得的值最大.

拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則點(diǎn).

∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

∴

要使得的值最大，即是使得的值最大，

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最大.設(shè)過、兩點(diǎn)的直線解析式為，

∴   解得：

∴直線的解析式為.

當(dāng)時(shí)，.

∴存在一點(diǎn)使得最大.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：本題知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考壓軸題，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.