Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0），B（6，0）和C（0，4 ）三個點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點E（m，n）是拋物線上一個動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)四邊形OEBF的面積為24時，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

Answer 1

分析：（1）把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax²+bx+c得出一個三元一次方程組，求出方程組的解即可；
（2）設(shè)E的坐標是（m，

2

3

m²-

14

3

m+4），根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出平行四邊形OEBF的面積等于2S_△OBE，得出S=2×

1

2

×OB×（-n），代入即可求出S=-4m²+28m-24，根據(jù)A、B的坐標即可求出m的范圍；
（3）把S=24代入S=-4m²+28m-24，求出方程的解，即可求出E的坐標，根據(jù)勾股定理求出OE和BE的值，看看OE和BE是否相等即可．

解答：（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax²+bx+c得：

0=a+b+c 0=36a+6b+c 4=c

，
解得：a=

2

3

，b=-

14

3

，c=4，
∴拋物線的解析式是y=

2

3

x²-

14

3

x+4．

（2）解：∵E在拋物線y=

2

3

x²-

14

3

x+4上，E（m，n），
∴E的坐標是（m，

2

3

m²-

14

3

m+4），
∵E在第四象限，且四邊形OEBF是平行四邊形，OB為對角線，
∴平行四邊形OEBF的面積等于2S_△OBE，
即S=2×

1

2

×OB×（-n），
∴S=2×

1

2

×6×（-

2

3

m²+

14

3

m-4）=-4m²+28m-24，
∵A（1，0），B（6，0），
∴m的范圍是1＜m＜6，
答：四邊形OEBF的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式是S=-4m²+28m-24，自變量m的取值范圍是1＜m＜6．

（3）解：根據(jù)題意得：S=-4m²+28m-24=24，
即m²-7m+12=0，
解得：m=3，m=4，
當(dāng)m=3時，y=

2

3

x²-

14

3

x+4=-4，
當(dāng)m=4時，y=

2

3

x²-

14

3

x+4=-4，
∵當(dāng)O（0，0），E（3，-4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE=

(-4)2+32

=5，BE=

(-4)2+(6-3)2

=5，
即OE=BE，
∴此時四邊形OEBF是菱形；
∵當(dāng)O（0，0），E（4，-4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE=

(-4)2+42

=4

2

，BE=

(-4)2+(6-4)2

=5

2

，
即OE和BE不相等，
∴此時四邊形OEBF不是菱形；
綜合上述，當(dāng)四邊形OEBF的面積為24時，四邊形OEBF不是菱形．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，菱形的判定，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，主要檢查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題型較好，但是有一定的難度．