Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。

①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？寫(xiě)出你猜想的結(jié)論，并說(shuō)明理由；

②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】①BD=CE，BD⊥CE，理由見(jiàn)解析；②BD=CE，BD⊥CE，理由見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：①BD=CE，BD⊥CE．根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H）BH構(gòu)建對(duì)頂角∠ABF=∠HCF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠BHC=90°；

試題解析：解：①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE；理由如下：

在△ABD與△ACE中，

AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

如圖（1），延長(zhǎng)BD交CE于F，

∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠CDF=∠EAC，

∴BD⊥CE

②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE

在△ABD與△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

如圖（2）延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE