Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分別為邊BC、CD的中點，連接AF，FG，過D作DE∥GF交AF于點E．
（1）證明△AED≌△CGF；
（2）若∠B=90°，判斷四邊形DEFG是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）證明：∵F為邊BC的中點，
∴BC=2CF，
∵BC=2AD，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴AF∥CD，AF=CD，
∵DE∥GF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴DE=FG，EF=DG，
∴AE=CG，
∴△AED≌△CGF（SSS）；

（2）四邊形DEFG是菱形．
理由：連接DF，
∵BC=2BF，BC=2AD，
∴AD=BF，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB∥DF，
∵∠B=90°，
∴∠DFC=∠B=90°，
∵G是CD的中點，
∴FG=DG=CD，
∴平行四邊形DEFG是菱形．
分析：（1）由題意易證得四邊形AFCD是平行四邊形與四邊形DEFG是平行四邊形，然后由SSS即可證得△AED≌△CGF；
（2）首先連接DF，證得四邊形ABFD是平行四邊形，即可得△DFC是直角三角形，由G為邊CD的中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的知識，即可證得FG=DG，則可證得四邊形DEFG是菱形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質，梯形的性質，菱形的判定，以及全等三角形的判定等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．