Question

如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB=BC=CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點，由AB=OA=OB=1，得到∠AOB=60°，弧AB的度數=60°，而AB=BC=CD，得弧ABD的度數=3×60°=180°，所以AD為⊙O的直徑，∠CFA=60°；再由AE=DE，得OE垂直平分AD，AE=AF，得AD垂直平分EF，可得EF過O點，
弧FD=弧FA，得到△FAD為等腰直角三角形，可得FA=AD=，在Rt△AGF中，GF=AF=，AG=GF=，在Rt△AGC中，CG=AG=，最后利用三角形的面積公式即可求出△ACF面積．
解答：解：連OA，OB，AD，DF，過A作AG⊥CF于G點，如圖，
∵AB=OA=OB=1，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴弧AB的度數=60°，
又∵AB=BC=CD，
∴弧AB=弧BC=弧CD，
∴弧ABD的度數=3×60°=180°，
∴AD為⊙O的直徑，∠CFA=60°，
又∵AE=DE，
∴OE垂直平分AD，
∵AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴EF過O點，
∴弧FD=弧FA，
∴△FAD為等腰直角三角形，
∴∠FCA=∠FDA=45°，FA=AD=，
在Rt△AGF中，GF=AF=，AG=GF=，
在Rt△AGC中，CG=AG=，
∴S_△ACF=CF•AG=×（+）×=．
故選D．
點評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應相等．也考查了等腰直角三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系以及三角形的面積公式．