Question

已知：關(guān)于x的方程mx²-14x-7=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁和x₂，關(guān)于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．當(dāng)

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由于兩個(gè)方程都有根，可以利用它們的判別式△求出m，n的取值范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件得出m，n的關(guān)系式，

解答：解：∵方程mx²-14x-7=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，①
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
∴

2

x1+x2

-

6

x1x2

+2（2y₁-y₂²）+14=0變形為

m

7

+

6m

7

+2[2（n-2）-n²]+14=0，
化簡(jiǎn)得，m=2n²-4n-6．
由二次函數(shù)的圖象知，
當(dāng)0≤n≤4時(shí)，-8≤m≤10，②
由①②得：-7≤m≤10，且m≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及用圖象來(lái)解題，正確確定m、n的范圍是解決本題的關(guān)鍵．