Question

如圖，已知△ABC內接于圓O，AB是直徑，D是AC弧上的點，BD交AC于E，AB=5，sin∠CAB=

3

5

．
（1）設CE=m，

DE

BE

=k，試用含m的代數式表示k；
（2）當AD∥OC時，求m的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,勾股定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）先根據圓周角定理及直角三角形的性質求出AC及BC的長，再由CE=m可知AE=4-m，由∠DAE=∠DBC可得出DE=

m(4-m)

BE

，代入

DE

BE

=k即可用k、m表示出BE的長，再根據△ABC是直角三角形根據勾股定理即可用m表示出k；
（2）由AD∥OC得出∠DAC=∠ACO，根據∠DAC=∠DBC，可知∠ACO=∠DBC，由OA=OC可知∠BAC=∠ACO，故∠BAC=∠DBC
由相似三角形的判定定理得出△ACB∽△BCE，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=

3

5

．
∴BC=3，AC=4，
∵CE=m，
∴AE=4-m，
∵∠DAE=∠DBC，
∴

DE

AE

=

CE

BE

，即

DE

4-m

=

m

BE

，即DE=

m(4-m)

BE

，
∵

DE

BE

=k，
∴

m(4-m) BE

BE

=k，即BE²=

m(4-m)

k

，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，即3²+m²=

m(4-m)

k

，
∴k=

m(4-m)

9+m2

；

（2）∵AD∥OC
∴∠DAC=∠ACO
∵∠DAC=∠DBC
∴∠ACO=∠DBC
∵OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∴∠BAC=∠DBC
∵∠ACB=∠BCE
∴△ACB∽△BCE
∴

BC

CE

=

AC

BC

∴CE=BC×

BC

AC

∵BC=3 AC=4
∴CE=

9

4

，即m=

9

4

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．