Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，5）（0，2）（4，2），直線l的解析式為y = kx+5－4k（k > 0）．

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求一次函數(shù)的解析式；

（2）通過計(jì)算說明：不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)D；

（3）直線l與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段DM上的一點(diǎn)， 且△NBD為等腰三角形，試探究：

①當(dāng)函數(shù)y = kx+5－4k為正比例函數(shù)時(shí)，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)有 個(gè)；

②點(diǎn)M在不同位置時(shí)，k的取值會(huì)相應(yīng)變化，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)情況可能會(huì)改變，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N所有不同的個(gè)數(shù)情況以及相應(yīng)的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y =x+2；（2）說明見解析；（3）①2；②；當(dāng)k≥2時(shí)，有3個(gè)點(diǎn)；當(dāng)＜k＜2時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)；當(dāng)k=時(shí)，有0個(gè)；當(dāng)0＜k＜時(shí)，有1個(gè)．

【解析】

（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求出k的值；

（2）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入解析式，得出答案；

（3）根據(jù)圖形的平行法則求出零界值，然后進(jìn)行分類．

解： （1）將點(diǎn)B（0，2）代入y=kx+5－4k得

∴y =x+2

（2）由題意可得：點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，5）

把x=4代入y=kx+5－4k得y=5 ∴不論k為何值，直線l總經(jīng)點(diǎn)D；

（3）①當(dāng)函數(shù)y=kx+5-4k為正比例函數(shù)時(shí)可得5-4k=0，解得k=，
∴直線解析式為y=x，則BM=2，如圖1所示，

以D為圓心BD為半徑畫圓，與DM有一交點(diǎn)，BD的垂直平分線與DM有一交點(diǎn)，
故滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)．
故答案為：2；
②∵k＞0，
∴5-4k＜5，
當(dāng)5-4k=-3時(shí)，k=2，此時(shí)OM=3，則MB=5，如圖2所示，

分別以B、D為圓心BD為半徑畫圓，與DM交于點(diǎn)M和N1，和BD的垂直平分線交DM于點(diǎn)N2，故此時(shí)滿足條件的N點(diǎn)有3個(gè)，
當(dāng)k＞2時(shí)，此時(shí)MB＞5，如圖3所示，

分別以B、D為圓心BD為半徑畫圓，與DM交于N1、N2兩點(diǎn)，BD的垂直平分線交DM于N3，
故滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，
∴當(dāng)k≥2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，
當(dāng)＜k＜2時(shí)，此時(shí)0＜OB＜5，同理可得出滿足條件點(diǎn)有兩個(gè)，
當(dāng)k=時(shí)，此時(shí)B、M重合，則滿足條件的N點(diǎn)有0個(gè)，
當(dāng)0＜k＜時(shí)，即M在線段AB上時(shí)，同理可知滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，
綜上可知當(dāng)k≥2時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)＜k＜2時(shí)，有兩個(gè)；當(dāng)k=時(shí)，有0個(gè)；當(dāng)0＜k＜時(shí)，有1個(gè)．