利用根與系數(shù)的關(guān)系求出二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程,使它的兩根分別是方程x2-3x+1=0兩根的平方.
【答案】分析:由已知方程x2-3x+1=0,得到根的判別式大于0,可得出此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,設(shè)方程的解分別為x1,x2,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積,再利用完全平方公式求出兩根的平方和與平方積,寫出滿足題意的方程即可.
解答:解:方程x2-3x+1=0中,
∵a=1,b=-3,c=1,
∴△=9-4=5>0,即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
設(shè)方程兩根分別為x1,x2,
∴x1+x2=3,x1x2=1,
∴(x1+x22=x12+x22+2x1x2,即9=x12+x22+2,
∴x12+x22=7,又x12x22=(x1x22=1,且所求方程二次項(xiàng)系數(shù)為1,
則所求方程為x2-7x+1=0.
點(diǎn)評(píng):此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,及根的判別式與方程解的情況,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程無解;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,且方程有解時(shí),設(shè)方程的解分別為x1,x2,則有x1+x2=-,x1x2=
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如果x1,x2分別是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,請(qǐng)你解決下列問題:
(1)推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系:x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
;
(2)已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的兩個(gè)實(shí)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系求(x1-x22的值;
(3)已知sina,cosa(0°<a<90°)是關(guān)于x的方程2x2-(
3
+1
)x+m=0的兩個(gè)根,求角a的度數(shù).

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x1
x2
2+(
x2
x1
2

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(1)推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系:=-,

(2)已知是方程-4+2=0的兩個(gè)實(shí)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系求的值;

(3)已知sin,cos)是關(guān)于x的方程2-的兩個(gè)根,求角的度數(shù).

 

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