Question

已知拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)作⊙P，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）在第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，若以點(diǎn)C、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)垂徑定理求出圓心P的橫坐標(biāo)為1.5，設(shè)點(diǎn)P（1.5，y），然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用勾股定理列式表示出BP²=CP²，解方程求出y的值即可得解；
（3）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出△OBC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠OBC=∠OCB=45°，利用勾股定理列式求出BC，再求出AB，然后分①∠CBQ=45°時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分BQ和AB是對(duì)應(yīng)邊，BQ和BC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況列出比例式求解即可；②∠BCQ=45°時(shí)，與①同理求出CQ的長(zhǎng)，從而得解；③∠Q=45°時(shí)，再分∠BCQ=∠ACB時(shí)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CQ的長(zhǎng)，過點(diǎn)Q作QD⊥y軸于D，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角等于180°求出∠BAC=∠DCQ，然后利用△AOC和△QDC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CD、DQ，再求出OD，從而得解；∠CBQ=∠ACB時(shí)，同理可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），
∴

1-b+c=0 16+4b+c=0

，
解得

b=-3 c=-4

，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4；

（2）由垂徑定理，圓心P在AB的垂直平分線上，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是

-1+4

2

=1.5，
設(shè)點(diǎn)P（1.5，y），
令x=0，則y=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），
∵BP²=（4-1.5）²+y²，CP²=[y-（-4）]²+1.5²，
∴（4-1.5）²+y²=[y-（-4）]²+1.5²，
解得y=-1.5，
∴圓心P的坐標(biāo)為（1.5，-1.5）；

（3）∵B（4，0），C（0，-4），
∴OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
由勾股定理，BC=

OB2+OC2

=

42+42

=4

2

，
AB=4-（-1）=5，
分①∠CBQ=45°時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
BQ和AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△ABC≌△QBC，
∴BQ=AB=5，
此時(shí)，點(diǎn)Q₁（4，-5），
BQ和BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△ABC∽△CBQ，
∴

AB

CB

=

BC

BQ

，
即

5

4 2

=

4 2

BQ

，
解得BQ=

32

5

，
此時(shí)，點(diǎn)Q₂（4，-

32

5

）；
②∠BCQ=45°時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，
與①同理求出CQ=5或

32

5

，
此時(shí)，點(diǎn)Q₃（5，-4），Q₄（

32

5

，-4）；
③∠Q=45°時(shí)，∠BCQ=∠ACB時(shí)，
在△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

12+42

=

17

，
∵△ABC∽△BQC，
∴

BC

QC

=

AC

BC

，∠ACB=∠BCQ，
即

4 2

QC

=

17

4 2

，
解得QC=

32 17

17

，
過點(diǎn)Q作QD⊥y軸于D，
∵45°+∠BAC+∠ACB=180°，
45°+∠BCQ+∠DCQ=180°，
∴∠BAC=∠DCQ，
又∵∠AOC=∠QDC=90°，
∴△AOC∽△QDC，
∴

DC

OA

=

DQ

OC

=

CQ

AC

，
即

DC

1

=

DQ

4

=

32 17 17

17

，
解得DC=

32

17

，DQ=

128

17

，
∴OD=OC+DC=4+

32

17

=

100

17

，
此時(shí)，點(diǎn)Q₅（

128

17

，-

100

17

），
∠CBQ=∠ACB時(shí)，同理可求點(diǎn)Q₆（

100

17

，-

128

17

），
綜上所述，存在Q₁（4，-5），Q₂（4，-

32

5

），Q₃（5，-4），Q₄（

32

5

，-4），Q₅（

128

17

，-

100

17

），Q₆（

100

17

，-

128

17

），使以點(diǎn)C、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．