Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在第一象限的矩形ABCO的邊OA在y正半軸上，OC在x正半軸上，點D是線段OC上一點，過點D作DE⊥AD交直線BC于點E，以A、D、E為頂點作矩形ADEF．
（1）求證：△AOD∽△DCE；
（2）若點A坐標(biāo)為（O，4），點C坐標(biāo)為（7，0）．
①當(dāng)點D的坐標(biāo)為（5，0）時，若拋物線經(jīng)過A、F、B三點，求該拋物線的解析式；
②當(dāng)點D（k，0）是線段OC（不包括端點）上任意一點，則點F仍在①中所求的拋物線上嗎？請說明理由；
③當(dāng)點A的坐標(biāo)是（0，m），點C的坐標(biāo)是（n，0），當(dāng)點D在線段OC上運動時，是否了存在一條拋物線，使得點F始終落在該拋物線上？若存在，請直接寫出該拋物線的解析式（用含m、n表示）；若不存在，請說明理由．
（3）在第（2）題②的條件下，若點D（k，0）是在x軸上，且不在線段OC上的任意一點，其他條件不變，則點F是否還在①中所求的拋物線上？如果在，請以點D（k，0）在x負半軸上為例畫出示意圖（畫在備用圖上），并說明理由；如果不在，請舉反例說明．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)得到∠OAD=∠EDC后利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明即可；
（2）過F作FH⊥OC角OC于H，交AB于N，利用△AOD∽△DCE得到比例式求得CE的長，從而求得AFN≌△DEC，利用全等三角形的性質(zhì)得到F點的坐標(biāo)后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論；
（3）利用以上兩個小題中證得的全等和相似分當(dāng)FN≥4時，點F在x軸的上方和當(dāng)FN＜4時，點F在x軸的上方兩種情況求得點F的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC
∴△AOD∽△DCE；
（2）解：①過F作FH⊥OC角OC于H，交AB于N，
由題意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5，CD=2
∵△AOD∽△DCE，
∴

CE

OD

=

CD

AO

，即：

CE

5

=

2

4

，
∴CE=

5

2

，
∵四邊形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°
∴∠OAD=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC
∴AN=DC=2，F(xiàn)N=EC=

5

2

，
∴FH=

13

2

，
∴F點的坐標(biāo)為（2，

13

2

），
由A（0.4），設(shè)A、F、B三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4
由F（2，

13

2

）、B（7，4），
得

4a+2b+4= 13 2 49a+7b+4=4

，解得：

a=- 1 4 b= 7 4

∴過A、F、B三點的解析式為：y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
②理由是：由（2）中①可知，拋物線的解析式為：y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
當(dāng)D（k，0）時，則OD=k，DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得：FN=CE=

k(7-k)

4

，AN=7-K，
∴F（7-k，4+

k(7-k)

4

），
將x=7-k代入y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
得y=

k(7-k)

4

+4，
∴點F仍在①中所求的拋物線上．
（3）如圖，點F還在①中所求的拋物線上，
理由是：過點F作直線FH⊥OC交OC于點H，交直線AB于N，
由（2）中①可知，拋物線的表達式為y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
點D（k，0），k＜0時，則OD=-k，DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得：FN=CE=

k(7-k)

4

，AN=DC=7-K，
當(dāng)FN≥4時，點F在x軸的上方，
FH=FN-4=-

k(7-k)

4

-4，點F的縱坐標(biāo)是

k(7-k)

4

+4，
當(dāng)FN＜4時，點F在x軸的上方
FH=4-FN=4+

k(7-k)

4

，點F的縱坐標(biāo)也是

k(7-k)

4

+4，
故F（7-k，4+

k(7-k)

4

）
由（2）②可知點F在①中所求的拋物線上．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的幾何知識與函數(shù)知識的結(jié)合的題目更是近幾年中考的熱點考題之一．在求有關(guān)存在性問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．