如圖,已知拋物線:
的頂點為
,與
軸相交于
兩點(點
在點
的左邊),點
的橫坐標(biāo)是
.
(1)求點坐標(biāo)及
的值;
(2)如圖1,拋物線與拋物線
關(guān)于
軸對稱,將拋物線
向左平移,平移后的拋物線記為
,
的頂點為
,當(dāng)點
關(guān)于點
成中心對稱時,求
的解析式
;
(3)如圖2,點是
軸負(fù)半軸上一動點,將拋物線
繞點
旋轉(zhuǎn)
后得到拋物線
.拋物線
的頂點為
,與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊),當(dāng)以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時,求頂點
的坐標(biāo).
解:(1)由拋物線C1:得頂點P的坐標(biāo)為(2,5)………….1分
∵點A(-1,0)在拋物線C1上∴
.………………2分
(2)連接PM,作PH⊥x軸于H,作MG⊥x軸于G..
∵點P、M關(guān)于點A成中心對稱,
∴PM過點A,且PA=MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG=PH=5,AG=AH=3.
∴頂點M的坐標(biāo)為(,5).………………………3分
∵拋物線C2與C1關(guān)于x軸對稱,拋物線C3由C2平移得到
∴拋物線C3的表達(dá)式. …………4分
(3)∵拋物線C4由C1繞x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到
∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱.
由(2)得點N的縱坐標(biāo)為5.
設(shè)點N坐標(biāo)為(m,5),作PH⊥x軸于H,作NG⊥x軸于G,作PR⊥NG于R.
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,
∴EF=AB=2AH=6.
∴EG=3,點E坐標(biāo)為(,0),H坐標(biāo)為(2,0),
R坐標(biāo)為(m,-5).
根據(jù)勾股定理,得
①當(dāng)∠PNE=90º時,PN2+ NE2=PE2,
解得m=,∴N點坐標(biāo)為(
,5)
②當(dāng)∠PEN=90º時,PE2+ NE2=PN2,
解得m=,∴N點坐標(biāo)為(
,5).
③∵PN>NR=10>NE,∴∠NPE≠90º ………7分
綜上所得,當(dāng)N點坐標(biāo)為(,5)或(
,5)時,以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形.…………………………………………………………………………………8分
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c2 | 4 |
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