Question

如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M（8，0）點(diǎn)N（0，6），點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿NO由N向O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿MN由M向N運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)四邊形PQMO為梯形時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)△PQO為等腰三角形時(shí)，求t的值；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，以PQ為直徑的圓能否與x軸相切？若能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)PQ∥OM時(shí)，四邊形PQMO為梯形時(shí)，此時(shí)△NPQ∽△NOM，利用相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例，可以求出t的值．
（2）當(dāng)△PQO為等腰三角形時(shí)，可以是PO=OQ，也可以是PQ=OQ，因此解題時(shí)，要分兩種情況進(jìn)行討論，列出關(guān)于t的方程，解方程，進(jìn)而確定t的值．
（3）先假設(shè)能相切，根據(jù)切線的性質(zhì)，連接切點(diǎn)和圓心，得到垂直關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于t的方程，解方程，若方程有解，則存在，若方程無(wú)解，則不存在．
解答：解：（1）當(dāng)PQ∥OM時(shí)，四邊形PQMO為梯形
此時(shí)有，
即，
解得：t=1，
所以，當(dāng)t=1秒時(shí)，四邊形PQMO為梯形．


（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6-3t），
Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（8-4t，3t），
△PQO為等腰三角形；
當(dāng)PO=OQ時(shí)，作OH⊥x軸于點(diǎn)H，
在Rt△OQH中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（3t）²，
此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故此種情況不存在；
當(dāng)PQ=OQ時(shí)，此時(shí)Q在OP的垂直平分線上，
所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，
即有6-3t=2×3t，
解得t=，
當(dāng)t=秒時(shí)，△PQO為等腰三角形；
當(dāng)PO=PQ時(shí)，作QG⊥y軸于點(diǎn)G．
在Rt△PGQ中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故此種情況不存在．


（3）若以PQ為直徑的⊙A與x軸相切點(diǎn)T，連接AT，作QB⊥x軸于點(diǎn)B，
則AT=R=（OP+QB）=PQ，
即OP+QB=PQ，
所以[（6-3t）+3t]²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
解得：t₁=，t₂=2，
所以當(dāng)t₁=，t₂=2時(shí)，以PQ為直徑的圓與x軸相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．