Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜60°）到△A′BC′，邊AC和邊A′C′相交于點(diǎn)P，邊AC和邊BC′相交于Q.當(dāng)△BPQ為等腰三角形時(shí)，則α＝__________.

Answer 1

【答案】20°或40°

【解析】

過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△ABC≌△A'BC'，則BD=BE，進(jìn)而得到BP平分∠A'PC，再根據(jù)∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=（180°-∠C'PQ）=90°-θ，分三種情況討論，利用三角形內(nèi)角和等于180°，即可得到關(guān)于θ的方程，進(jìn)而得到結(jié)果．

如圖，過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，

由旋轉(zhuǎn)可得，△ABC≌△A'BC'，則BD=BE，

∴BP平分∠A'PC，

又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，

∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，

∴∠BPQ=（180°-∠C'PQ）=90°-θ，

分三種情況：

①如圖所示，當(dāng)PB=PQ時(shí)，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，

∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，

∴90°-θ+2×（30°+θ）=180°，

解得θ=20°；

②如圖所示，當(dāng)BP=BQ時(shí)，∠BPQ=∠BQP，

即90°-θ=30°+θ，

解得θ=40°；

③當(dāng)QP=QB時(shí)，∠QPB=∠QBP=90°-θ，

又∵∠BQP=30°+θ，

∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-θ）+30°+θ=210°＞180°（不合題意），

故答案為：20°或40°．