Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD=BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-3，0），B（4，0）兩點，
∴，解得，
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²+x+4；

（2）如圖1，依題意知AP=t，連接DQ，
∵A（-3，0），B（4，0），C（0，4），
∴AC=5，BC=4，AB=7．
∵BD=BC，
∴AD=AB-BD=7-4，
∵CD垂直平分PQ，
∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠CDQ=∠DCB．
∴DQ∥BC．
∴△ADQ∽△ABC．
∴=，
∴=，
∴=，
解得DP=4-，
∴AP=AD+DP=．
∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值為；


（3）如圖2，設(shè)拋物線y=-x²+x+4的對稱軸x=與x軸交于點E．點A、B關(guān)于對稱軸x=對稱，連接BQ交該對稱軸于點M．
則MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，
∵當BQ⊥AC時，BQ最小，此時，∠EBM=∠ACO，
∴tan∠EBM=tan∠ACO=，
∴=，
∴=，解ME=．
∴M（，），即在拋物線y=-x²+x+4的對稱軸上存在一點M（，），使得MQ+MA的值最小．
分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-3，0），B（4，0）兩點利用待定系數(shù)法可求出a、b、c的值，進而得出拋物線的解析式；
（2）由A、B、C三點的坐標求出AC、BC及AB的值，由相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△ABC，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出DP的值，進而可得出AP（即t）的值；
（3）設(shè)拋物線y=-x²+x+4的對稱軸x=與x軸交于點E．點A、B關(guān)于對稱軸x=對稱，連接BQ交該對稱軸于點M．則MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，由于當BQ⊥AC時，BQ最小，此時∠EBM=∠ACO，再由tan∠EBM=tan∠ACO=可求出ME的值，進而得出M點的坐標．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等相關(guān)知識，難度較大．