如圖,已知經(jīng)過原點的拋物線y=-2x2+4x與x軸的另一交點為A,現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點,與原拋物線交于點P.
(1)求點A的坐標(biāo),并判斷△PCA存在時它的形狀(不要求說理);
(2)在x軸上是否存在兩條相等的線段?若存在,請一一找出,并寫出它們的長度(可用含m的式子表示);若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式.

【答案】分析:(1)令原拋物線的解析式中y=0,即可求得A點的坐標(biāo);
很顯然P點位于線段AC的垂直平分線上,由此可判定△PAC是等腰三角形;
(2)根據(jù)平移的性質(zhì)知:AO=CD=2,OC=AD=m;
(3)求△CDP的面積需要知道兩個條件:底邊CD及CD邊上的高PH(過P作PH⊥x軸于H);
因此本題要分兩種情況討論:①0<m<2時,P點在x軸上方;②m>2時,P點位于x軸下方;
可分別表示出兩種情況的CH的長即P點橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線的解析式即可得到P點的縱坐標(biāo);以CD為底,P點縱坐標(biāo)的絕對值為高即可得到關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式.
解答:解:(1)令-2x2+4x=0,
得x1=0,x2=2
∴點A的坐標(biāo)為(2,0)
△PCA是等腰三角形.

(2)存在.
OC=AD=m,OA=CD=2.

(3)如圖,當(dāng)0<m<2時,作PH⊥x軸于H,
設(shè)P(xP,yP
∵A(2,0),C(m,0)
∴AC=2-m,
∴CH=
∴xP=OH=m+
把xP=代入y=-2x2+4x,
得yP=-m2+2
∵CD=OA=2
∴S=CD•HP=•2•(-m2+2)=-m2+2
如圖,當(dāng)m>2時,作PH⊥x軸于H,
設(shè)P(xP,yP
∵A(2,0),C(m,0)
∴AC=m-2,
∴AH=
∴xP=OH=2+
把xP=代入y=-2x2+4x,得
yP=-m2+2
∵CD=OA=2
∴S=CD•HP==m2-2.
點評:此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法、平移的性質(zhì)以及三角形面積的求法等知識,需注意的是(3)題要根據(jù)m的取值范圍分段討論,以免造成漏解、錯解.
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