Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，8），B（﹣4，0），線段AB的垂直平分線CD分別交AB、OA于點(diǎn)C、D，其中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求線段CD的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)E為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=2x+8；（2）CD=；（3）滿足題意的點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，5+）或（0，5﹣）或（0，5）或（0，）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由垂直平分線的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)，然后證明△CAD∽△OAB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CD的長(zhǎng)，

（3）先由△CAD∽△OAB，求出AD和OD的長(zhǎng)，然后分當(dāng)CD=DE時(shí)，當(dāng)CD=CE時(shí)，當(dāng)CE=DE時(shí)三種情況求解即可；

（1）∵A（0，8），

∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+8，

∵B（﹣4，0），

∴﹣4k+8=0，

∴k=2，

∴直線AB的解析式為y=2x+8；

（2）∵A（0，8），B（﹣4，0），

∴OA=8，OB=4，AB=4，

∵CD是AB的垂直平分線，

∴∠ACD=90°，AC=AB=2，

∵∠ACD=∠AOB=90°，∠CAD=∠OAB，

∴△CAD∽△OAB，

∴，

∴，

∴CD=，

（3）∵△CAD∽△OAB，

∴，

∴，

∴AD=5，

∴OD=OA﹣AD=3，D（0，3），

當(dāng)CD=DE時(shí)，DE=，

∴E（0，5+）或（0，5﹣），

當(dāng)CD=CE時(shí)，如圖1，

∵A（0，8），B（﹣4，0），

∴C（﹣2，4），

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，

∴DF=EF，F(xiàn)（0，4），

∴E（0，5）；

當(dāng)CE=DE時(shí)，如圖2，過(guò)E作E'G⊥CD，則E'G是線段CD的中垂線，

∵AB⊥CD，

∴E'G是△ACD的中位線，

∴DE'=AE'=AD=，

∴OE'=OD+DE'=，

∴E（0，），

即：滿足題意的點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，5+）或（0，5﹣）或（0，5）或（0，）．