Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標為（0，﹣1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC．

(1)求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a（x﹣h）2+k的形式；

(2)若點H（1，y）在BC上，連接FH，求△FHB的面積；

(3)一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，連接OM，BM，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），在點M的運動過程中，當t為何值時，∠OMB=90°？

(4)在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+（2） （3）t=﹣；（4）在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得∠PBF被BA平分，P（， ）

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標代入y＝ax2＋bx﹣2中，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值即可得出解析式，然后利用配方法得出頂點式即可；

（2）如圖1中，先求出點F坐標，根據(jù)S△FHB＝GH×|xG－xF|＋GH×|xB－xG|計算即可；

（3）如圖2中，設(shè)M（2，m），（m＞），因為OM2＝m2＋4，BM2＝m2＋1，OB2＝9，∠OMB＝90°，根據(jù)OM2＋BM2＝OB2，可得m2＋4＋m2＋1＝9，解方程即可解決問題；

（4）存在點P，使∠PBF被BA平分，在y軸上取一點N（0，1），求出直線BN的解析式為y＝x＋1，利用方程組即可求出點P坐標．

試題解析：

（1）解：∵拋物線y＝ax2＋bx﹣2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，

∴

∴，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋x﹣2＝﹣（x﹣2）2＋ ；

（2）解：如圖1，

過點A作AH∥y軸交BC于H，BE于G，

由（1）有，C（0，﹣2），

∵B（0，3），

∴直線BC解析式為y＝x﹣2，

∵H（1，y）在直線BC上，

∴y＝﹣，

∴H（1，﹣ ），

∵B（3，0），E（0，﹣1），

∴直線BE解析式為y＝﹣x﹣1，

∴G（1，﹣ ），

∴GH＝，

∵直線BE：y＝﹣x﹣1與拋物線y＝﹣x2＋x﹣2相較于F，B，

∴F（，﹣），

∴S△FHB＝GH×|xG﹣xF|＋GH×|xB﹣xG|

＝GH×|xB﹣xF|

＝××（3﹣）

＝．

（3）解：如圖2，

由（1）有y＝﹣x2＋x﹣2，

∵D為拋物線的頂點，

∴D（2， ），

∵一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴設(shè)M（2，m），（m＞），

∴OM2＝m2＋4，BM2＝m2＋1，AB2＝9，

∵∠OMB＝90°，

∴OM2＋BM2＝AB2 ，

∴m2＋4＋m2＋1＝9，

∴m＝或m＝﹣（舍），

∴M（0， ），

∴MD＝﹣，

∵一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴t＝﹣；

（4）解：存在點P，使∠PBF被BA平分，

如圖3，

∴∠PBO＝∠EBO，

∵E（0，﹣1），

∴在y軸上取一點N（0，1），

∵B（3，0），

∴直線BN的解析式為y＝﹣x＋1①，

∵點P在拋物線y＝﹣x2＋x﹣2②上，

聯(lián)立①②得， 或（舍），

∴P（， ），

即：在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得∠PBF被BA平分，P（， ）．