Question

如圖，已知∠MAO=90°，△ABC為等邊三角形，OA=4，AB=2

3

a，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過C點(diǎn)（即C點(diǎn)在⊙O上）．
（1）當(dāng)⊙O與AC相切于點(diǎn)C時(shí)，a的值是多少？
（2）當(dāng)a=2時(shí)，試探究⊙O與AB是什么位置關(guān)系？
（3）將△ABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△BEF，若EF所在的直線與⊙O相切，問此時(shí)a的值是多少？

Answer 1

分析：（1）△ABC是等邊三角形，則AB=AC，∠BAC=60°；在Rt△OAC中，根據(jù)OA的長和∠OAC的度數(shù)，易求得AC的長，即可得到關(guān)于a的等量關(guān)系式，由此得解；
（2）過O作AC的垂線，設(shè)垂足為D；同（1）可求得AD的長，此時(shí)發(fā)現(xiàn)AC=2AD，即OD垂直平分AC，得OA=OC，則OA為⊙O的半徑，而OA⊥AM，所以此時(shí)⊙O與AB相切；
（3）延長FE交AO的延長線于N，過O作OP⊥EN于P；過C作CD⊥AO于D；可用a分別在Rt△AFN和Rt△ACD中表示出AN、AD、CD的長，進(jìn)而可表示出OD、ON、OP的長；由于⊙O與FN相切，那么此時(shí)⊙O同時(shí)經(jīng)過C、P兩點(diǎn)，則OP=OC，可據(jù)此列出關(guān)于a的等量關(guān)系式求出a的值．

解答：解：（1）∵⊙O與AC相切于C，
∴OC⊥AC于C，
又∵∠OAM=90°，△ACB為等邊三角形，則：
AC=AB=2

3a

，∠OAC=30°，OC=

1

2

AO=2，
∴4²=2²+（2

3a

）²，
∴a=1；

（2）∵a=2，∴AB=AC=4

3

，
過O作OD⊥AC于D，在直角△AOD中，
∠OAC=90°-60°=30°，OA=4，
∴OD=2，AD=

42-22

=2

3

，
∴DC=AD=2

3

，
∴OD垂直平分AC，則半徑OC=OA=4；
∵∠OAM=90°
∴⊙O與AB相切；

（3）延長FE交射線AO于N，作OP⊥EN于P，CD⊥AO于D，
易得CD=

3

a，AD=3a，OD=4-3a；
∵AF=4

3

a，∠ANF=30°，
∴AN=12a，ON=12a-4，
∴OP=6a-2，
∵OP=OC，即OP²=OC²，
∴（6a-2）²=（

3

a）²+（4-3a）²，
a=

2

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．