Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸正半軸上，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，點(diǎn)C是線段OA的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得∠APO=∠CBO，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)P，求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心的圓與直線OA相切，切點(diǎn)為點(diǎn)N，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．請(qǐng)你探索：是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△MAD∽△AOB？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標(biāo)為（1，2）；（2）y=﹣x2+x或y=x2+x；（3）存在這樣的點(diǎn)M（6，4）或（10，-）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB

【解析】

（1）過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可得OD=OB=2，根據(jù)tan∠AOB=2，可得AD=4，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）可得A點(diǎn)坐標(biāo)和∠CBE的正切值，進(jìn)而可得∠APO的正切值，即可求出PD的長(zhǎng)，根據(jù)PD=|x﹣2|，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，把A、P兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx即可求出a、b的值，即可得拋物線解析式；（3）若△MAD∽△AOB，則∠MAN=∠AOB，由于（2）中由兩個(gè)拋物線解析式，所以分兩種情況討論，由于切點(diǎn)N的不確定性，所以點(diǎn)N的位置由兩種，一種是點(diǎn)N在點(diǎn)A的上方，另一種是點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方．

（1）過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，

∵AO=AB，

∴AD是△AOB的中線，

∴OD=OB=2，

∵tan∠AOB=2，

∴=2，

∴AD=4，

∵CE∥AD，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，

∴CE是△AOD的中位線，

∴CE=AD=2，OE=OD=1，

∴C的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）由（1）可知：CE=2，BE=3，A的坐標(biāo)為（2，4），

∴tan∠CBE==，

∵∠APO=∠CBO，

∴tan∠APO=tan∠CBO=，

∴=，

∴PD=6，

設(shè)P的坐標(biāo)為（x，0），

∵D（2，0），

∴PD=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=6，

∴x=8或x=﹣4，

∴P（8，0）或（﹣4，0）；

當(dāng)P的坐標(biāo)為（8，0）時(shí)，把A（2，4）和（8，0）代入y=ax2+bx，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x，

當(dāng)P的坐標(biāo)為（﹣4，0）時(shí)，把A（2，4）和P（﹣4，0）代入y=ax2+bx，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2+x，

綜上所述，拋物線的解析式為：y=﹣x2+x或y=x2+x；

（3）∵M為圓心，N為切點(diǎn)，

∴MN⊥OA，

∵D點(diǎn)是A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，

∴△MAD是等腰三角形，MA=MD

當(dāng)△MAD∽△AOB時(shí)，

∵△AOB是等腰三角形，

∴∠MAD=∠AOB，

當(dāng)拋物線的解析式為y=﹣x2+x時(shí)，如圖2，

①若點(diǎn)N在A的上方時(shí)，此時(shí)∠MAN=∠AOB，

∴AM∥x軸，

∴M的縱坐標(biāo)為4，

∴把y=4代入y=﹣x2+x，

解得：x=2（舍去）或x=6，

∴M的坐標(biāo)為（6，4），

②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方時(shí)，此時(shí)∠MDA=∠AOB，

∴DM∥x軸，

過點(diǎn)A作AE⊥DM于點(diǎn)E，交于x軸于點(diǎn)F，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，

∴DE=2-a，

∵tan∠MDA=tan∠AOB=2，

∴AE=2DE=4-2a，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2a，

∴由勾股定理可知：AD=（2-a），OA=2，

∴，解，

∴DM=，

設(shè)M的橫坐標(biāo)為x，

∴x-a=

∴x=，

∴M（，2a）

把M（，2a）代入y=﹣x2+x，

得：2a=-×()2+×()

解得：a=2或a=-，

∴當(dāng)a=2時(shí)，M（2，4）舍去

當(dāng)a=-時(shí)，M（10，-）

當(dāng)拋物線的解析式為y=x2+x時(shí)，如圖4，

若點(diǎn)N在點(diǎn)A的上方時(shí)，此時(shí)∠MAN=∠AOB，

延長(zhǎng)MA交x軸于點(diǎn)F，

∵∠MAN=∠OAF，

∴∠AOB=∠OAF，

∴FA=FO，

過點(diǎn)F作FG⊥OA于點(diǎn)G，

∵A（2，4），

∴由勾股定理可求得：AO=2，

∴OG=AO=，

∵tan∠AOB=

∴GF=2，

∴由勾股定理可求得：OF=5，

∴F的坐標(biāo)為（5，0），設(shè)直線MA的解析式為：y=mx+n，

把A（2，4）和F（5，0）代入y=mx+n，

∴，

解得：，

∴直線MA的解析式為：y=﹣+，

聯(lián)立，

∴解得：x=2（舍去）或x=﹣10，

把x=﹣10代入y=﹣+，

∴y=20，

∴M（﹣10，20），

若點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方時(shí)，此時(shí)∠MAN=∠AOB，

∴AM∥x軸，

∴M的縱坐標(biāo)為4，

把y=4代入y=x2+x，

∴x=﹣6或x=2（舍去），

∴M（﹣6，4），

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M（6，4）或（10，-）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB