Question

【題目】已知正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A在第四象限，過點(diǎn)A作AH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且△AOH的面積為3．

（1）求正比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上能否找到一點(diǎn)M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x；（2）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）時(shí)，△AOM是等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)、△AOH的面積結(jié)合點(diǎn)A所在的象限，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出正比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）分OM＝OA、AO＝AM、OM＝MA三種情況考慮，①當(dāng)OM＝OA時(shí)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出OA的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)AO＝AM時(shí)，由點(diǎn)H的坐標(biāo)可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；③當(dāng)OM＝MA時(shí)，設(shè)OM＝x，則MH＝3﹣x，利用勾股定理可求出x值，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，△AOH的面積為3，點(diǎn)A在第四象限，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，﹣2）．

將A（3，﹣2）代入y＝kx，

﹣2＝3k，解得：k＝﹣，

∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x．

（2）①當(dāng)OM＝OA時(shí)，如圖1所示，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，﹣2），

∴OH＝3，AH＝2，OA＝＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）或（，0）；

②當(dāng)AO＝AM時(shí)，如圖2所示，

∵點(diǎn)H的坐標(biāo)為（3，0），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，0）；

③當(dāng)OM＝MA時(shí)，設(shè)OM＝x，則MH＝3﹣x，

∵OM＝MA，

∴x＝ ，

解得：x＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）時(shí)，△AOM是等腰三角形．