當(dāng)m為整數(shù)時,關(guān)于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果沒有,請說明理由.
【答案】
分析:先計算出△并且設(shè)△=(2m+1)
2-4(2m-1)=4m
2-4m+5=(2m-1)
2+4=n
2(n為整數(shù)),整系數(shù)方程有有理根的條件是△為完全平方數(shù).解不定方程,討論m的存在性.變形為(2m-1)
2-n
2=4,(2m-1-n)(2m-1+n)=-4,利用m,n都為整數(shù)進(jìn)行討論即可.
解答:解:當(dāng)m為整數(shù)時,關(guān)于x的方程(2m-1)x
2-(2m+1)x+1=0沒有有理根.理由如下:
①當(dāng)m為整數(shù)時,假設(shè)關(guān)于x的方程(2m-1)x
2-(2m+1)x+1=0有有理根,則要△=b
2-4ac為完全平方數(shù),而△=(2m+1)
2-4(2m-1)=4m
2-4m+5=(2m-1)
2+4,
設(shè)△=n
2(n為整數(shù)),即(2m-1)
2+4=n
2(n為整數(shù)),所以有(2m-1-n)(2m-1+n)=-4,
∵2m-1與n的奇偶性相同,并且m、n都是整數(shù),所以
或
,
解得m=
或m=-
(都不合題意舍去).
②2m-1=0時,m=
(不合題意舍去).
所以當(dāng)m為整數(shù)時,關(guān)于x的方程(2m-1)x
2-(2m+1)x+1=0沒有有理根.
點評:考查了一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)根的判別式為△=b
2-4ac.△=b
2-4ac為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件.同時考查了不定方程特殊解的求法.