Question

如圖所示，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判斷直線BD和⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求△DFB的面積．

Answer 1

分析：（1）直線BD和⊙O的位置關(guān)系是相切，理由是由∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，得到∠ABC=∠ODB，求出∠BOD+∠D=90°，推出∠OBD=90°，即可得到
（2）根據(jù)垂徑定理得出BF=CF=

1

2

BC=4，連接AC，由AB是圓的直徑得到∠ACB=∠DFB=90°，證出△ACB∽△BED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

S△BED

S△ACB

=(

BF

AC

)2=(

4

6

)2=

4

9

，求出△ABC的面積，即可求出△DFB的面積．

解答：（1）答：直線BD和⊙O的位置關(guān)系是相切，
證明：∵∠AEC=∠ABC，∠AEC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥弦BC，
∴∠OFB=90°，
∴∠DOB+∠ABC=90°，
∴∠BOD+∠D=90°，
∴∠OBD=180°-90°=90°，
∵OB是半徑，
∴直線BD是圓O的切線，
即直線BD和⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）解：∵OD⊥BC，OE是圓O的半徑，BC=8，
∴BF=CF=

1

2

BC=4，
∠DFB=90°，
連接AC，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=∠DFB=90°，
∵∠D=∠ABC，
∴△ACB∽△BFD，
∴

S△BFD

S△ACB

=(

BF

AC

)2=(

4

6

)2=

4

9

，
∵△ABC的面積是

1

2

×6×8=24，
∴△DFB的面積是

32

3

，
答：△DFB的面積是

32

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，垂徑定理，切線的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)．