Question

如圖13所示，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G。

[1]求證：AF⊥BE；

[2]試探究線段AO、BO、GO的長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系；

[3]若GO：CF=4：5，試確定E點(diǎn)的位置。

 

Answer 1

 [1]證明：∵ABCD為正方形，且DE=CF，

∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°，

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE；

[2]解：BO=AO+OG．

理由：由[1]的結(jié)論可知，

∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

則△ABO≌△DAG，

所以，BO=AG=AO+OG；

[3]解：過(guò)E點(diǎn)作EH⊥DG，垂足為H[如答圖2所示]，

由矩形的性質(zhì)，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，

∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，

∴AB：BE=EH：ED=4：5，

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，

故AE：AD=3：4，

即AE= [3AD]/4。