Question

【題目】問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E、F分別為邊AD、BC上的點，且AE＝1；BF＝2．

（1）如圖①，P為邊AB上一動點，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為_____；

（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動點，且PM＝2，現(xiàn)要求計算出EP、PM、MF和的最小值．九年級一班某興趣小組通過討論得出一個解決方法：在DA的延長線上取一點E'，使AE'＝AE，再過點E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點即為M，再在邊AB上點M的上方取P點，且PM＝2，此時EP+PM+MF的值最�。�但他們不確定此方法是否可行，便去請教數(shù)學田老師，田老師高興地說：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請你根據(jù)敘述作出草圖并計算出EP+PM+MF的最小值；

問題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽�司的線路設計師，公司準備架設一條經過農田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個村同時輸電．如圖所示，農田區(qū)兩側AB與CD平行，且農田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農田區(qū)內的線路要與AB垂直．請你幫助聰聰?shù)陌职衷O計出最短的線路圖，并計算出最短線路的長度．（要求：寫出計算過程，結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km

【解析】

（1）利用軸對稱方法求最短路線，作點關于直線的對稱點或作點關于直線的對稱點，連接交于，則即為最小值；

（2）由于PM是定值，可以通過平移點的方式將問題轉化為問題一，再通過對稱求最短路線；

（3）由于農田的寬度一定，故可將M點延AB的垂直方向移動農田的寬度到，將問題轉化為兩點之間線段最短問題即可，作，并在上截取（農田的寬度），連接交于，作于，連接，，則即為最短路線．

解：（1）如圖①，延長至，使，連接，過作于，

矩形，

，

，

當，，三點共線時，最小，即最��；

由勾股定理得：，

故答案為；

（2）如圖②，延長至，使，在下方作，在上截取，連接交于，在上截取，連接，，

矩形

，即，

，

四邊形是平行四邊形，

，，三點共線，

為最小值，

即為最小值．

（3）如圖③，過作于，過作于，作交于，交于，

在上截取，連接交于，作交于，連接，

，

，

四邊形是平行四邊形，

由題意知，，，，，，

在△中，，

最短線路長度為．