Question

【題目】如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，B，C為切點，連接CO并延長交AB于點D，交⊙O于點E，連接BE，連接AO．

（1）求證：AO∥BE；

（2）若DE＝2，tan∠BEO＝，求DO的長．

Answer 1

【答案】(1))證明見解析；(2)DO=3.

【解析】

（1）由切線長定理得到OA⊥BC，再由直徑所對的圓周角等于90°，即可得到結論；

（2）由平行線的性質(zhì)得到∠BEO=∠AOC，設OC=r，解Rt△AOC，得到AC，OA，cos∠AOC的值，從而得到EB的值．再由△DBE∽△DAO得到對應邊成比例，即可得到結論．

(1)連結BC．

∵AB，AC是⊙O的兩條切線，B，C為切點，∴AB=AC，OA平分∠BAC，∴OA⊥BC，∴∠CFO=90°．

∵CE是⊙O的直徑，∴∠CBE=90°，∴∠CFO=∠CBE，∴ OA∥BE．

(2)∵OA∥BE，∴∠BEO=∠AOC．

∵tan∠BEO=，∴tan∠AOC=．

在Rt△AOC中，設OC=r，則AC=r，OA=r ，∴cos∠AOC=，∴cos∠BEC= cos∠AOC =，∴EB=r．

∵BE∥OA，∴△DBE∽△DAO，∴，∴，∴DO=3．