Question

【題目】正方形ABCD的邊長為6cm，點(diǎn)E，M分別是線段BD，AD上的動點(diǎn)，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點(diǎn)N.

(1)如圖①，若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，求證：AF＝MN；

(2)如圖②，若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為ts.

①設(shè)BF＝ycm，求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)BN＝2AN時(shí)，連接FN，求FN的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定義得到∠AHM=90°，由余角的性質(zhì)得到∠BAF=∠AMH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)勾股定理得到BD=6，由題意得，DM=t，BE=t，求得AM=6-t，DE=6-t，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②根據(jù)已知條件得到AN=2，BN=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BF=，由①求得BF=，得方程=，于是得到結(jié)論．

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NDA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NDA，

∴△ABF≌△MAN，

∴AF＝MN.

(2)①∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD∥BF，

∴∠ADE＝∠FBE.

∵∠AED＝∠BEF，

∴△EBF∽△EDA，

∴＝.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝DC＝CB＝6cm，

∴BD＝6cm.

∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為ts，

∴BE＝tcm，DE＝(6－t)cm，

∴＝，

∴y＝.

②∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠MAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NMA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NMA.

∴△ABF∽△MAN，

∴＝.

∵BN＝2AN，AB＝6cm，

∴AN＝2cm.

∴＝，

∴t＝2，

∴BF＝＝3(cm)．

又∵BN＝4cm，

∴FN＝＝5(cm)．

點(diǎn)睛: 本題主要考查正方形的性質(zhì)和相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用．