Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．

（1）求邊AB的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）M（﹣1，0）．

【解析】

試題分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA與OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可；

（2）過(guò)C作y軸垂線，過(guò)D作x軸垂線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可得三角形CBE與三角形ADF與三角形AOB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，確定出C與D坐標(biāo)即可；

（3）作出B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，連接BD，BM，此時(shí)△MDB周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)M的坐標(biāo)即可．

解：（1）對(duì)于直線y=x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1；令y=0，得到x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，1），

在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，

根據(jù)勾股定理得：AB==；

（2）作CE⊥y軸，DF⊥x軸，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，

∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，

∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，

∴△BCE≌△DAF≌ABO，

∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，

∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，

∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；

（3）找出B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)△BMD周長(zhǎng)最小，

∵B（0，1），

∴B′（0，﹣1），

設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b，

把B′與D坐標(biāo)代入得：，

解得：，即直線B′D的解析式為y=﹣x﹣1，

令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．